El proyecto Apache OpenOffice está buscando soluciones permanentes a este inconveniente, pero de cualquier forma es posible instalar e incluso correr aplicaciones no firmadas en Mountain Lion.
NOTA: no soy usuario Mac, por lo que la información siguiente ha sido recopilada de Internet... alguien tiene que comprobarla.
Para esto es suficiente dirigirse a la carpeta Aplicaciones (Applications) y hacer Ctrl-clic sobre OpenOffice. Esto llamará un menú que tendrá una opción Abrir (Open). El usuario debe hacer clic sobre esta opción y cuando el diálogo de advertencia aparezca, hacer clic en Aceptar (OK).
Para más información, consultar la página de soporte en el sitio de Apple:
Mountain Lion: Acerca de Gatekeeper
| Editado: Raphael Bircher ha realizado un vídeo (en inglés) explicando cómo resolver el problema: GateKeeper problem on Mac |